关节点

关节点

articulation point;articulare;

在某图中，若删除顶点V以及V相关的边后，图的一个连通分量分割为两个或两个以上的连通分量，则称顶点V为该图的一个关节点。一个没有关节点的连通图称为重连通图。

在重连通图中，任意一对顶点之间至少存在两条路径，则再删去某个顶点即相关各边后也不破坏图的连通性。若在图的连通图上删去k个节点才能破坏图的连通性，则称K为此图的连通度。

他们常常在通信网络的图或航空网中应用，K越大，系统越稳定，反之，战争中若要摧毁敌方的运输线，只须破坏其运输网中的关节点即可。

利用深度优先搜索便可以求的图的关节点，本由此可判别图是否重连通。

从任一点出发深度优先遍历得到优先生成树，对于树中任一顶点V而言，其孩子节点为邻接点。由深度优先生成树可得出两类关节点的特性：

（1）若生成树的根有两棵或两棵以上的子树，则此根顶点必为关节点。因为图中不存在连接不同子树顶点的边，若删除此节点，则树便成为森林。

（2）若生成树中某个非叶子节点V，其某棵子树与V的祖先节点无连接，则V为关节点。因为删去v，则其子树和图的其它部分被分割开来

low[v] 设对连通图G=（V,E）进行先深搜索的先深编号为dfn[v]，产生的先深生成树为S=（V,T），B是回退边之集。对每个顶点v，low[v]定义如下

low[v]=Min{dfn[v],Min{low[w]|w是v的一个子女}，Min{dfn[x]|（v，x）是一条回边}}//dfn数组记录顶点的深度优先数

算法： 求无向图的双连通分量

输入：连通的无向图G=( V, E )。L[v]表示关于v的邻接表

输出：G的所有双连通分量，每个连通分量由一序列的边组成。

1.计算先深编号：对图进行先深搜索，计算每个结点v的先深编号dnf[v]，形成先深生成树S=（V,T）。

2.计算low[v]：在先深生成树上按后根顺序进行计算每个顶点v的 low[v]， low[v]取下述三个结点中的最小者：

(1) dfn[v]；

(2) dfn[w]，凡是有回退边（v,w）的任何结点w；

(3) low[y]，对v的任何儿子y。

3.求关节点：

(1)树根是关节点，当且仅当它有两个或两个以上的儿子（第一类关节点）；

(2)非树根结点v是关节点当且仅当v有某个儿子y，使low[y]≥dnf[v]（第二类关节点）。

求双连通分量的算法――同先深搜索算法（略）